Introducción y Conceptos Básicos

Los métodos numéricos son algoritmos simples que se aplican para resolver diversos tipos de problemas como

1. Interpolación. Se tiene una tabla de datos (variable independiente x, variable dependiente f(x)), se requiere conocer un valor que no se encuentra en la tabla. Si usamos un polinomio único que toca todos los puntos tabulados, estamos usando la técnica de inteporlación, distinto a la regresión donde se obtiene un polinomio que minimiza la distancia entre los puntos y el polinomio. El dato que se desea interpolar debe estar en el dominio de las x’s. El ajustar un polinomio que toque todos los puntos puede generar oscilaciones importantes y se pueden obtener resultados inesperados, fuera del contexto del problema, en estos casos se recomienda utilizar trazadores o splines, pueden ser lineales, cuadráticos o incluso cúbicos, ésta técnica asegura que la oscilación entre los puntos no sea mayor del grado del trazador.

2. Funciones no lineales. Es común escuchar la expresión «raíz de una función», el término raíz se deriva de los cuadrados perfectos de un número, por ejemplo el cuadrado de 2 es 4, el cuadrado de 3 es 9; si se desea saber el origen del cuadrado perfecto de 4 es 2, es decir la raíz de 4 es 2. Expresando esta idea en términos algebraicos sería x^2=4 donde 4 es el valor que conocemos y deseamos conocer su raíz x, por lo tanto f(x)=x^2- 4=0, es fácil deducir que el valor de x es 2, la respuesta es casi obvia, pero qué pasa con la raíz de 2, aquí se complica un poco el tema porque se debe encontrar un valor de x tal que su cuadrado sea 2, es decir, se desea encontrar la raíz de 2. Si usamos la calculadora para obtener la raíz de dos, nos damos cuenta que es un número irracional, qué técnica se puede usar para obtener éste valor?, esta técnica debe ser fácil de implementar que localice las raíces de una función incluso las raíces complejas. Si graficamos valores de x vs x^2-2 vemos una gráfica que cruza el eje x en dos puntos, éstas son las dos raíces reales de f(x). La gráfica es una primera aproximación a la raíz de manera visual, pero los métodos no tienen ojos para observar dónde cruza f(x), además las raíces complejas no cruzan el eje x. Aquí se utilizan otras técnicas que se pueden clasificar en métodos cerrados y abiertos, los métodos cerrados solo localizan las raíces reales que cruzan el eje x, los métodos abiertos localizan las raíces que tocan o cruzan el eje x y algunos de éstos métodos también localizan las raíces complejas.

3. Sistemas de ecuaciones. Los sistemas de ecuaciones representan las relaciones que tienen los elementos dentro de un sistema, por ejemplo, las concentraciones de una sustancia en cada uno de los platos en una torre de destilación, la cantidad de cada una de las sustancias que se requieren para fabricar distintos tipos de fertilizantes, las diferentes presiones parciales que tiene cada uno de los gases en una mezcla. En cada uno de éstos casos, un elemento se relaciona de con el resto de una cierta manera, la cual queda expresada en una ecuación y todo el sistema se expresa con un sistema de ecuaciones, las cuales pueden ser lineales o no lineales. Los métodos que se deben utilizar encuentran el conjunto solución, es decir, es la solución para la ecuación 1 pero también para la ecuación 2, y en general para todo el sistema.

4. Integrales. Las integrales es una herramienta muy poderosa cuando se trata de sumar un total de pequeños eventos, las técnicas de integración analítica se pueden aplicar a un gran número de funciones, pero que hay de aquellas que no se pueden integrar porque son tan complicadas que no es posible aplicar ninguna de éstas técnicas, aquí es donde los métodos numéricos hacen aproximaciones para obtener el resultado, pueden aproximar polinomios de grado 1, 2, 3 los cuales son fáciles de integrar y aproximar el resultado. Hay otras técnicas que utilizan la cuadratura para llegar a esa aproximación, cualquiera de las dos técnicas siempre serán más fáciles que las técnicas analíticas con el correspondiente costo de la aproximación.

5. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Existe un grupo de ecuaciones que expresan la razón de cambio de una variable dependiente con respecto al cambio de una variable independiente, éstas son las ecuaciones diferenciales ordinarias, para resolver este tipo de ecuaciones se requiere de un valor inicial, es decir, el esta inicial cuando la variable independiente marca el inicio, y la variable dependiente marca el estado inicial, se requiere de éste dato para encontrar la solución final, ya que sería imposible determinar el final si no se conoce el inicio, de otra manera cualquier cosa podría ser el final. Aquí los métodos numéricos otra vez hacen aproximaciones para llegar a la solución.

6. Optimización. En muchas áreas de la ingeniería se busca optimizar recursos, ya sea materiales o monetarios, maximizando los productos o rendimiento de las inversiones. Matemáticamente hablando se trata de encontrar un máximo o mínimo de una función en un rango específico o general, hablamos de un máximo/mínimo local o global. Aquí también los métodos numéricos hacen aproximaciones para encontrar estos puntos de interés.